Teoría de juegos

La teoría de juegos es una rama de la matemática aplicada que estudia el comportamiento de unos participantes a la hora de tomar decisiones en experimentos o juegos. Las investigaciones estudian la estrategia óptima de cada jugador y su comportamiento en cada juego.

Se han desarrollado muchas teorías y modelos matemáticos a partir del estudio de los juegos. La utilización de la teoría de juegos se extiende a muchos campos como la psicología, sociología, política entre otras, aunque su principal campo de actuación es la economía.

Se parte de la base en la que los jugadores son racionales, es decir, estudian la consecuencia de sus actos. Un punto a tener en cuenta para la toma de decisiones es necesario comprender el punto de vista del adversario y predecir su actuación ante nuestras decisiones.

Historia

El objetivo principal de estudio de la teoría de juegos es el comportamiento estratégico de los participantes. Economistas como Cournot y Edgeworth anticiparon algunas ideas, a las que posteriormente se unieron matemáticos como Borel y Zermelo (1913) resolviendo juegos, tal y como el ajedrez. John Von Neuman fue el primer matemático, que estudió la técnica para el análisis de estas situaciones. Trabajó junto al economista Oskar Morgenstern a principios de la década de los 40. En 1944 publicaron un libro, “Theory of Games and Economic Behavior”. Tras este libro se descubre la importancia de la teoría de juegos para el estudio de las relaciones humanas. Fueron los pioneros en un campo de estudio en el que actualmente trabajan miles de especialistas en el mundo.

La Teoría de Juegos ha tomado parte de un papel fundamental en la resolución de problemas matemáticos. En los años 50, se llevó a cabo un desarrollo importante sobre el planteamiento estratégico o no cooperativo de mano de Luce y Raiffa (1957) en Princeton. En 1953, Kuhn estableció una manera de atacar los juego cooperativos. Y en 1950, John Forbes Nash, quien desarrolló el equilibrio que lleva su nombre, recibiendo un premio Nobel de economía por su teoría en 1994.

John Harsany en 1967, estudió la teoría de juegos con información incompleta, resolviendo cómo pasar de tener información incompleta a información completa. También desarrolló los juegos bayesianos. A partir de los 70, la teoría de juegos comenzó a ser aplicada en la biología, destacando el trabajo de John Maynard Smith y su concepto de estrategia estable evolutiva.

Reinhard Selten en 1975, definió el equilibrio perfecto en el subjuego para juegos con información completa. Una de las últimas aportaciones sobre la teoría de juegos fue realizada por Robert J. Aumann, pionero en realizar un análisis sobre los juegos con sucesos repetidos; y Thomas C. Schelling, “The Strategy of conflict”, donde se aplica la teoría de juegos a las ciencias sociales, se centró en modelos dinámicos. Por último, en 2007, Roger Myerson, Leonid Hurwicz y Eric Maskin recibieron el premio Nobel de economía por sentar las bases de la teoría de diseño de mecanismos.

Definiciones

Juego: Situación en la que los participantes o jugadores toman decisiones estratégicas.

Estrategia: plan de acción para llevar a cabo una jugada, siendo la estrategia óptima la que maximiza la ganancia esperada del jugador.

Decisión estratégica: son aquellas decisiones en las que los jugadores tienen en cuenta las acciones y las respuestas de los demás participantes. Las decisiones reportan un determinado beneficio o recompensa a los jugadores.

Estrategia dominante: es referida a la estrategia que es óptima independientemente de las decisiones que tome el adversario. Estas estrategias son estables. Cuando existe equilibrio de las estrategias dominantes cada jugador está recibiendo el mejor resultado posible independientemente de los demás jugadores.

Formas de juegos

Los juegos se conforman por un número de jugadores (mínimo dos) que disponen de un número determinado de movimientos o estrategias con el objetivo de conseguir una recompensa.

Forma normal de un juego

La forma normal de un juego se representa mediante matrices. La matriz es de tipo dos por dos, representa a los jugadores, a sus estrategias y ganancias. Cada jugador tiene dos estrategias representadas unas por filas y otras por columnas, a elección del jugador, detallándose las recompensas en el interior de la matriz. En los juegos normales se entiende que los jugadores parten desde el mismo punto, actúan de manera simultánea y no tienen ninguna información sobre las estrategias y decisiones del otro jugador. Si los jugadores obtienen alguna información sobre las decisiones de otros jugadores, el juego se presume de forma extensiva.

Forma extensiva de un juego

Estos juegos son representados mediante árboles, donde cada nodo indica que el jugador ha tomado una decisión. Los jugadores son especificados por un número situado junto a nodo, y cada línea que parte de del nodo representan acciones posibles para el jugador. Las recompensas se indica al final de cada acción posible. Los juegos de forma extensiva pueden presentar movimientos simultáneos, representados por una línea puntead o un círculo alrededor de dos nodos diferentes para que representen al mismo conjunto de información.

Juegos

Juegos cooperativos y no cooperativos

Juego cooperativo: se refiere a aquel en el que los participantes negocian un objetivo permitiendo la planificación de estrategias conjuntas. Juego no cooperativo: no es posible negociar la planificación de estrategias conjuntas. Ejemplo de juego cooperativo: negociación entre un comprador y un vendedor sobre el precio de una alfombra. Si cuesta 100 dolares producirla el comprador la valora en 200, es posible darle una solución cooperativa al juego: un acuerdo para venderla a cualquier precio situado entre 101 solares y 199 maximizará la suma del excedente del consumidor, del comprador y los beneficios del vendedor y mejorará al mismo tiempo el bienestar de ambas partes (Pindyck y Rubinfeld, 7ª edición)

Ejemplo de juego no cooperativo: situación en la que dos empresas rivales tienen en cuenta la conducta probable de cada una cuando fijan por separado sus precios. Cada empresa sabe que fijando un precio inferior al de su competidora, puede capturar más cuota de mercado, pero también sabe que arriesga a desencadenar una guerra de precios (Pindyck y Rubinfeld, 7ª edición) La principal diferencia entre los juegos cooperativos y no cooperativos es poder alcanzar un acuerdo con el otro jugador.

Juegos simétricos y asimétricos

Se dice que un juego es simétrico cuando la recompensa de un jugador depende de las estrategias que toman los otros jugadores, pero no depende de quién las toma. Es decir, si las recompensas no varían al cambiar los jugadores. Son juegos asimétricos el juego de la gallina, el dilema del prisionero y la caza del ciervo. Los juegos asimétricos más estudiados son aquellos que no presentan un conjunto de estrategias idénticas para los dos jugadores. Como ejemplos tenemos el juego del ultimátum y el juego del dictador.

Equilibrio de Nash

Este concepto fue desarrollado por el matemático que le otorgó el nombre al equilibrio, John Forbes Nash en 1951. El Equilibrio de Nash enuncia que cada jugador obtiene el mejor resultado posible dado el resultado de los demás jugadores. Podemos definirlo como el conjunto de estrategias o decisiones que cada jugador toma haciendo lo mejor para él, dependiendo de lo que hagan sus adversarios. Los jugadores no suelen tener incentivos para alejarse de su estrategia de Nash, por ello decimos que las estrategias son estables.

Ejemplo, el juego de localización de una playa. Dos competidores, L y C , están planeando vender bebidas en la playa. La playa tiene una longitud de 200 metros. Los bañistas están repartidos por igual a lo largo de toda la playa. El precio de L es igual al precio de C. El comprador irá a comprar un refresco al puesto más cercano. ¿Dónde deben situarse los competidores? ¿Dónde se sitúa el equilibrio de Nash? (Pyndick y Rubinfeld, 7ª edición) Estará en equilibrio de Nash si la elección de L es óptima, dada la elección de C y, la elección de C es óptima, dada la de L.

Juegos de suma cero

En estos juegos el beneficio total del juego para cada jugador, sea cual sea la combinación de estrategias, siempre resulta cero, es decir, un jugador solamente se beneficia dependiendo de otro. Como ejemplos tenemos el ajedrez y el póker. Podemos destacar que la mayoría de los juegos reales son de suma no cero, por ejemplo el dilema del prisionero.

Estrategia maximin

Denominamos estrategia maximin a aquella que maximiza el beneficio mínimo que puede ser obtenido, es decir, elige la opción que mayor ganancia le reporta.

Juegos repetidos

Son aquellos juegos en el que se realizan decisiones por las que se reciben ganancias una y otra vez. Por ejemplo, La estrategia de ojo por ojo, juego repetido infinitamente, número finito de repeticiones.

Juegos consecutivos

Los jugadores actúan respondiendo a las decisiones y reacciones de los otros jugadores. El modelo de Stackelberg es el ejemplo más significativo de este juego.

Bibliografía

• Game theory with economic applications; H. Scott Bierman, Luis Fernández. Adison-Weslwy publishing company, inc.
• La teoría de juegos: una breve introducción; Ken Binmore. Alianza editorial
• Microeconomía; Robert S. Pindyck, Daniel L. Rubinfeld. 7ª edición, Prentice Hall
• Teoría microeconómica, Nicholson (2004). MacGraw-Hill
• Theory of games and statistical decisions, David Blackwell and M.A. Girshick. Dover Publications IAC New York